• Onderzoek , Sluitstuk
  • 16/05/2023

Sluitstuk | De wiskunde van wachten

Het productieproces van grote hightechfabrikanten zoals ASML wordt gekenmerkt door een groot aantal leveranciers dat de onderdelen van het eindproduct aanlevert. Wanneer de leveranciers niet tijdig kunnen leveren, ontstaan er vertragingen in deze supplychains die grote financiële gevolgen kunnen hebben. Dennis Schol, die vandaag zijn proefschrift verdedigt, ontwikkelde wiskundige modellen, gebaseerd op de wachtrijtheorie, om deze complexe leveringsketens in kaart te brengen.

door
foto Bart van Overbeeke

Hightechbedrijven zoals de Veldhovense chipmachinefabrikant ASML produceren geavanceerde machines die uit veel verschillende componenten bestaan. Deze onderdelen worden door duizenden verschillende fabrikanten van over de hele wereld aangeleverd, die zelf weer hun eigen leveranciers hebben. Dat maakt deze grote supplychains enorm complex.

Wanneer een leverancier een component niet tijdig kan leveren, ontstaat er een vertraging in de supplychain. Aangezien ASML op jaarbasis een relatief klein aantal eindproducten van extreem hoge waarde produceert, kan een vertraging in het proces tot een niet te overzien omzetverlies leiden. Dennis Schol, promovendus bij de faculteit Mathematics & Computer Science, ontwikkelde verschillende wiskundige modellen om deze supplychains in kaart te brengen en het gedrag van deze systemen te bestuderen. Daarbij beantwoordde hij vragen zoals: wat is de langst mogelijke wachttijd? En hoe groot is de kans dat een extreem lange wachttijd zich voordoet?

Wachten

De centrale probleemstelling van zijn onderzoek lijkt misschien voor veel mensen op het eerste gezicht een ver-van-mijn-bedshow, maar eigenlijk zijn deze supplychains een complexe vorm van iets waar iedereen regelmatig mee te maken krijgt: een wachtrij. “Het wachten in de rij bij een supermarkt, aan de telefoon voordat je doorverbonden wordt of bij het stoplicht – het zijn allemaal voorbeelden van een wachtrij”, legt Schol uit.

Het lijken misschien allemaal vrij banale situaties, maar je ziet hetzelfde ook in de zorg, waar de gevolgen vervelender of zelfs ernstig kunnen zijn. “Een oudere vrouw die ik ken, moest geopereerd worden, dus zij kwam op een wachtlijst te staan, maar omdat het in de coronatijd was, werd de operatie steeds uitgesteld”, demonstreert de promovendus.  

Wachtrijtheorie

De wachtrijtheorie is een tak van toegepaste wiskunde die wachtrijen bestudeert door middel van wiskundige modellen. Het systeem is in de basis altijd hetzelfde: het bestaat uit taken of klanten en servers waar de taken afgehandeld worden of de klanten worden geholpen. Als een taak afgehandeld moet worden terwijl de server al bezig is met een andere taak, ontstaat er een wachtrij - net zoals in de supermarkt.

Omdat je niet precies kunt weten hoeveel mensen er bijvoorbeeld op een bepaald tijdstip naar de supermarkt komen, speelt kansrekening in de wachtrijmodellen een belangrijke rol. Schol: “Op basis van de berekeningen kunnen we het gedrag van de wachtrijsystemen voorspellen en effectieve maatregelen tegen te lange wachttijden nemen.”

Je kunt op die manier allerlei praktische situaties modelleren. “Neem bijvoorbeeld de helpdesk van een callcenter”, vervolgt hij. “Je wilt niet dat de klanten lang in de wachtrij moeten wachten, maar je wilt ook niet dat de werknemers de helft van de tijd zitten te niksen. De vraag is dan: hoeveel werknemers heb je precies nodig voor een optimaal evenwicht? Eerst moet je de situatie beschrijven aan de hand van een wiskundig model. Als je weet wat er precies gebeurt, kun je vervolgens beslissingen nemen, zoals extra werknemers aannemen.”

Fork-join queue

Schol hield zich in zijn onderzoek bezig met een specifiek wachtrijmodel, de zogenaamde fork-join queue die – zoals de naam doet vermoeden – op basis van twee principes werkt: verdelen en samenvoegen (zie ook de figuur hieronder). In dit systeem worden de binnenkomende taken verdeeld in subtaken die tegelijkertijd door verschillende servers worden uitgevoerd en aan het einde van het proces weer worden samengevoegd. De snelheid van de traagste server bepaalt daarbij logischerwijs hoe snel de hele taak wordt uitgevoerd.

Schematische weergave van een fork-join queue

De supplychains van grote techfabrikanten zoals ASML zijn een goed voorbeeld van een praktisch probleem waar de fork-join queue model voor kan staan. Ook in dit proces wordt de hoofdtaak namelijk uitgesplitst in veel kleine subtaken. ASML verstuurt op hetzelfde moment heel veel orders naar verschillende leveranciers. Pas als al deze orders zijn afgehandeld, kan het eindproduct worden samengesteld. Schol ging uit van het bestaande model en werkte een aantal casussen uit, geïnspireerd op deze supplychains. Op basis van een aantal aannames, zoals het aantal leveranciers of de gemiddelde wachttijd, heeft hij zo een aantal scenario’s uitgewerkt en uitgerekend wat de maximale wachttijd per situatie is.

Omdat de modellen gebaseerd zijn op aannames, zullen ze niet helemaal overeenkomen met praktijkscenario’s. Toch zijn ze wel degelijk bruikbaar, omdat ze de fabrikanten een idee geven hoe het systeem zich gedraagt. “Ze kunnen kijken welke casus het beste bij hun situatie past en zo krijgen ze goede benaderingen van wat de wachttijden zijn. Op basis daarvan kunnen ze vuistregels opstellen en betere afspraken maken”, legt hij uit. “Ik heb ook geprobeerd om de modellen heel algemeen te maken om een zo breed mogelijke toepasbaarheid te garanderen.”

Datacenters

In een van de papers van zijn proefschrift staat een andere toepassing centraal, namelijk die in datacenters. Een datacenter bestaat uit heel veel servers die berekeningen doen. Als er een taak binnenkomt, wordt deze opgesplitst in veel kleinere subtaken. Elke server voert een subtaak uit en alle berekeningen worden aan het einde weer samengevoegd. “Het is een heel andere situatie, maar dit systeem kan dus op eenzelfde manier gemodelleerd worden als de supplychains”, aldus Schol.

Er komt wel iets bij kijken wat de situatie anders en extra uitdagend maakt. Bij datacenters komt er namelijk weleens een taak binnen die een enorme workload geeft: een zogenaamde heavy tail. Zo wordt in wiskunde het fenomeen genoemd waarbij iets sterk naar boven afwijkt van het gemiddelde.

“Een gemiddelde Instagramgebruiker heeft bijvoorbeeld zo’n 150 volgers, maar er zijn ook mensen met miljoenen volgers. Dat is eigenlijk iets raars”, legt Schol uit. “Zo heb je ook taken die enorm afwijken doordat ze heel veel tijd kosten. En dat vormt een probleem.” Wanneer er sprake is van een heavy tail, is het gedrag van het systeem fundamenteel anders. Schol rekende uit wat de langste wachttijd is in datacenters die te maken krijgen met zulke extreem belastende taken.

Eindeloos veel toepassingen

Schol vindt het belangrijk om te laten zien hoe nuttig de wachtrijsystemen kunnen zijn bij het oplossen van allerlei praktische problemen die zich voordoen in onze samenleving. Zelf heeft hij maar een klein toepassingsgebied onderzocht, maar het aantal mogelijke toepassingen is oneindig. En met de veranderende wereld komen er steeds meer toepassingsgebieden bij.

“Neem bijvoorbeeld de zelfscankassa’s. Het probleem daarmee is dat mensen stelen, dus je moet ze controleren. De controles moeten voldoende effectief zijn, zodat mensen ontmoedigd worden om te stelen, maar je wilt ook niet te veel controleren, want dan is het hele voordeel van de zelfscankassa’s weg.” Dit is een van de vele voorbeelden van praktijksituaties die je als een wachtrij kunt modelleren om tot de meest optimale oplossingen te komen.

“Wiskundige modellen zijn altijd een benadering van de realiteit, waardoor de oplossing soms gestileerd is, maar ze helpen ons om deze systemen beter te begrijpen, waardoor we ook weer betere modellen kunnen ontwikkelen”, benadrukt Schol. “Zoals iemand ooit zei (statisticus George Box, red.): ‘All models are wrong, but some are useful.’"

Deel dit artikel