“Mijn begeleider, Jim Portegies, geeft het vak Analyse 1, waarin eerstejaarsstudenten leren wiskundige bewijzen te formuleren”, vertelt Wemmenhove. Toen Portegies merkte dat veel studenten moeite hadden met het schrijven van bewijzen, startte hij in 2019 een project om een educatieve tool te ontwikkelen die hen daarbij zou begeleiden. Het programma, met de treffende naam Waterproof, speurt fouten direct op en geeft studenten gedetailleerde feedback om hen verder op weg te helpen.

Proof assistants

Het programma is gebaseerd op bestaande boekhoudkundige tools voor wiskundigen en informatici – zogenaamde proof assistants (NL: bewijsassistenten). “Deze professionele tools zijn heel technisch en gericht op het efficiënt opstellen van complexe bewijzen, maar voor beginnende studenten daardoor vaak te ingewikkeld”, legt Wemmenhove uit. Daarom was het doel om een gebruiksvriendelijke versie te ontwikkelen die speciaal voor eerstejaars wiskundestudenten toegankelijk zou zijn.

Wemmenhoves promotieonderzoek richtte zich op de evaluatie van de eerste versie van Waterproof en de verdere ontwikkeling ervan. Op basis van feedback uit het Analyse 1 vak en interdisciplinair, toegepast onderzoek, werkte de onderzoeker aan verbeteringen, zodat het programma steeds beter zou aansluiten bij de behoeften van zowel studenten als docenten.

Extreme precisie

“Ik heb zelf de bachelor Technische Wiskunde aan de TU/e gedaan, dus ik wist dat het een moeilijk vak was”, vertelt Wemmenhove. Maar wat houdt het eigenlijk precies in om wiskundige bewijzen te schrijven, en waarom is dat zo lastig?

“Op de middelbare school heb je daar nog nauwelijks mee te maken, dus voor eerstejaarsstudenten is het echt iets nieuws”, legt Wemmenhove uit. “Je moet daarbij heel precies en logisch redeneren waarom bepaalde aannames tot bepaalde conclusies leiden. Binnen de wiskunde is die extreme precisie cruciaal – anders loop je het risico verkeerde conclusies te trekken.”

Daarnaast is de vorm van een bewijs iets waar studenten erg aan moeten wennen. “Er zijn veel formele regels voor hoe je een bewijs logisch opbouwt en opschrijft. Alleen zo kan een docent je redenering goed volgen en controleren of je daadwerkelijk hebt bewezen wat je wilde bewijzen.”

Fietsen met zijwieltjes

“Met behulp van het programma willen we studenten inzicht geven in de stappen die nodig zijn om een stelling te bewijzen. Welke logische symbolen moet je gebruiken? Welke stappen horen daarbij?”, legt de onderzoeker uit. “Om te bewijzen dat een eigenschap voor alle elementen uit een verzameling geldt, is de eerste stap om een willekeurig element te introduceren. En als je moet bewijzen dat A of B waar is, moet je bewust kiezen en aangeven welke van de twee je gaat bewijzen.”

Het programma helpt studenten oefenen met wanneer ze bepaalde stappen moeten gebruiken en welke stappen er beschikbaar zijn in de verschillende stadia van een bewijs. “Voor beginners is dat vaak nog onduidelijk”, stelt de PhD-student.

Een groot voordeel dat de tool biedt, is dat studenten direct feedback krijgen terwijl ze aan een opgave werken. “Zonder deze tool zouden ze de feedback van de docent, in de vorm van nagekeken huiswerk, vaak pas een week later ontvangen, terwijl ze dan misschien al met een andere opgave bezig zijn.”

Hoewel het programma studenten ondersteunt bij huiswerkopdrachten, moeten ze tijdens examens zonder hulpmiddelen werken, enkel met pen en papier. “Het programma moet ze helpen aan het begin om de benodigde vaardigheden onder de knie te krijgen – een beetje zoals leren fietsen met zijwieltjes. Maar uiteindelijk moeten ze het echt zelf kunnen”, aldus de promovendus.

Concrete verbeteringen

Om breed te kijken hoe studenten het programma gebruikten, evalueerde Wemmenhove het programma in samenwerking met collega’s van Human-Technology Interaction. Hierbij werd ook de rol van docenten en de situering in het Analyse 1 vak onderzocht. Op basis hiervan werd onder meer het installatieproces verbeterd, zodat studenten het programma gemakkelijker kunnen downloaden. Maar ook bijvoorbeeld de feedback die studenten van het programma krijgen wanneer ze fouten maken, werd aangepast zodat het makkelijker leesbaar en beter te volgen zou zijn.

Samen met Eindhoven School of Education onderzocht Wemmenhove het onderwijskundige effect van de tool. Ze vergeleken examens van studenten die wel met Waterproof werkten, met die van studenten die dat niet deden, om te kijken of er verschillen te zien waren. De ontdekte patronen gaven nieuwe inzichten. Zo bleek dat een bewijsstap die op papier verwacht werd, niet in Waterproof als aparte stap was ingebouwd. “Dat hebben we vervolgens aan het programma toegevoegd”, licht Wemmenhove toe. “Door samen te werken met verschillende faculteiten en gebruik te maken van hun expertise, konden we concrete verbeteringen aan het programma en de inbedding van het programma in het vak aanbrengen.”

Praktisch en laagdrempelig

De feedback van studenten en docenten speelde een cruciale rol in het ontwikkelingsproces, vertelt Wemmenhove. “Doordat ze ieder jaar met een nieuwe versie van het programma werkten, konden we kijken hoe ze op de verbeteringen reageerden en hoe de tool in de praktijk functioneerde.” Op basis van deze observaties en evaluaties werd Waterproof steeds verder geoptimaliseerd tot de huidige versie.

De bedoeling is dat het programma verder wordt verbeterd en breder wordt ingezet, zodat steeds meer studenten ondersteuning krijgen van een programma dat zowel praktisch als laagdrempelig is. “Momenteel zijn we bezig met een samenwerking met Universiteit Utrecht; daar willen ze het programma ook gaan gebruiken voor een eerstejaarsvak.” Voor Wemmenhove was het bijzonder waardevol om bij te dragen aan een bruikbare tool die studenten echt helpt: “Ik vond het geweldig om te zien hoe ze ermee werkten.”